Для спектрального анализа связных сигналов, имеющих по своей природе характер гармонических колебательных процессов, чаще всего используются различные системы тригонометрических базисных функций, и среди них важнейшее место занимает система, основанная на разложении сигнала в ряд Фурье.

Математически преобразование Фурье для непрерывной функции х(t) определяется следующим образом

,

где ? = 2лf, f — частота, j = .

При этом обратное преобразование Фурье может быть записано в форме

.

Спектром дискретного сигнала x(nT) в базисе Фурье называют комплексную функцию

.

Очевидно, что расчет спектра по этому выражению требует бесконечного во времени сигнала, что недостижимо при решении практических задач. Обычно имеется только ограниченное число выборок исходного сигнала, по которым и производится оценка его спектра, или, другими словами, осуществляется спектральный анализ. В этом случае под оценкой спектра понимают оценку спектральной плотности сигнала, вкладывая в понятие плотности распределение энергетических и фазовых составляющих ограниченной временной последовательности сигнала по оси частот.

Рассмотрим пример нахождения оценки комплексной спектральной плотности X(j?) дискретного сигнала в произвольной точке f оси частот. Пусть

,

где S(?) = — модуль спектральной плотности и ?(?) =arctg(Ss(?)/Sc(?)) — фаза исходного сигнала х(пТ) на угловой частоте ? = 2?f.

Допустим, что сигнал х(пТ) ограничен по времени, т. е. он является последовательностью из N отсчетов, взятых с частотой дискретизации fd = 1/Т на интервале от 0 до (N-1)T.

Тогда коэффициенты Ss(?) и Sc(?) могут быть найдены из следующих выражений

,

.

Отметим, что существует ряд рекурсивных методов вычисления коэффициентов Ss(?) и Sc(?) [18]. Однако наиболее важным при цифровой обработке сигналов является случай, когда необходимо проводить спектральный анализ сигнала не на одной отдельно взятой частоте, а во всей полосе занимаемых им частот. В этом случае результат дискретного преобразования Фурье (ДПФ) сигнала может быть представлен в виде совокупности значений X(fk) в определенных точках fk = k/NT, k = 0,…, N-1

. (3.1.2)

Обратное преобразование для (3.1.2) задается в виде

. (3.1.3)

В виду того, что выражение (3.1.2) является линейным преобразованием совокупности значений x(nT), ДПФ имеет вид

, (3.1.4)

где = X((fo), X(fl),. X(fN-1))T; = (х(0), х(Т), ., x((N-l)T))T , WN — матрица размера NхN с элементами WNnk =e-jn2?k/N, n, k = 0,., N-l.

Вычисление ДПФ непосредственно по формуле (3.1.2) требует проведения N2 операций умножения и N(N — 1) операций сложения комплексных чисел. С целью сокращения вычислительных за трат при проведении спектрального анализа разработан ряд алгоритмов, получивших общее название быстрых преобразование Фурье (БПФ). Рассмотрим два базовых алгоритма БПФ для случая, когда N = 2V, V > 0, V — целое.

Алгоритм с прореживанием по времени. Сигнал х(пТ), n= 0,., N—1 разделяется на два подсигнала с четными и нечетными номерами соответственно, т. е.

.

Выражение для ДПФ такого сигнала можно представить в виде

, ( 3.1.5)

где k = 0,., N-1.

Каждая из сумм в (3.1.5) является результатом ДПФ для N/2 четных и N/2 нечетных отсчетов сигнала х(пТ). Путем следующего аналогичного деления каждого подсигнала на две новых последовательности выражение (3.1.5) может быть представлено виде совокупности преобразований для N/A отсчетов. При последующем делении — для N/8 отсчетов и т. д. пока не останутся только 2-х точечные преобразования. Всего будет v = log2 N шагов деления. На каждом m-шаге, т = 0,., v —1, производится преобразование N комплексных чисел Хт(п) во множество комплексных чисел Хт+1(п) в соответствии со следующим правилом

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89